Question

已知圓E：（x-1）²+（y-2）²=25直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）證明不論m取什么實數，直線與圓恒交于兩點；
（2）設P（x，y）是圓E上任意一點，求x+y的取值范圍．
（3）已知AC、BD為圓C的兩條相互垂直的弦，垂足為M（3，1），求四邊形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）求出直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0恒過定點，確定點在圓E內，即可得出結論；
（2）利用參數法，表示x+y，利用輔助角公式化簡，即可求x+y的取值范圍．
（3）利用四邊形ABCD的面積S=

1

2

|AC||BD|，結合基本不等式，即可求四邊形ABCD的面積的最大值．

解答： （1）證明：直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化為（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，∴x+y-4=0，且2x+y-7=0，得x=3，y=1，
即l恒過定點M（3，1）．
∵圓心E（1，2），|ME|=

5

＜5，
∴點M在圓E內，從而直線l恒與圓E相交于兩點．
（2）解：設x=1+5cosα，y=2+5sinα，則x+y=3+5（cosα+sinα）=3+5

2

sin（α+θ）∈[3-5

2

，3+5

2

]；
（3）解：設圓心E到AC，BD的距離分別為d₁，d₂，則d12+d22=EM=5，
∴四邊形ABCD的面積S=

1

2

|AC||BD|=2

(25-d12)(25-d22)

≤50-（d12+d22）=45．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查參數法的運用，考查四邊形面積的計算，屬于中檔題．