Question

15．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BB₁=4，則BB₁與平面ACD₁所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面ACD₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，設(shè)BB₁與平面ACD₁所成角為θ，利用sinθ=|$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{B}_{1}}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
則D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，4），
B（2，2，0），B₁（2，2，4），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，4），
$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，4）．
設(shè)平面ACD₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{-2x+4z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
設(shè)BB₁與平面ACD₁所成角為θ，
則sinθ=|$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{B}_{1}}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{9}×4}$=$\frac{1}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、法向量的應(yīng)用、向量夾角公式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．