Question

13．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美，給出定義：能夠?qū)�圓O的周長和面積同時平分的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”，給出下列命題：
①對于任意一個圓O，其“優(yōu)美函數(shù)“有無數(shù)個”；
②函數(shù)$f（x）=ln（{{x^2}+\sqrt{{x^2}+1}}）$可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
③正弦函數(shù)y=sinx可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
④函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形．
其中正確的命題是（　�。�

• A． ①③
• B． ①③④
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 過圓心的直線都可以將圓的周長和面積同時平分，故①正確；
作函數(shù)$f（x）=ln（{{x^2}+\sqrt{{x^2}+1}}）$的大致圖象，從而判斷②的正誤；
將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx的對稱中心上，則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“優(yōu)美函數(shù)”；即可判斷③的正誤；
函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，則y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”，但函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”時，圖象不一定是中心對稱圖形，作圖舉反例即可．

解答 解：過圓心的直線都可以將圓的周長和面積同時平分，
故對于任意一個圓O，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個，故①正確；
函數(shù)$f（x）=ln（{{x^2}+\sqrt{{x^2}+1}}）$的大致圖象如圖1，故其不可能為圓的“優(yōu)美函數(shù)”；∴②不正確；
將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx的對稱中心上，
則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
故有無數(shù)個圓成立，故③正確；
函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，則y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”，
但函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”時，圖象不一定是中心對稱圖形，如圖2，

故選：A．

點評 本題考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，命題真假的判斷，函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．