Question

【題目】已知.

（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的范圍；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的范圍；

（3）在（2）的條件下，若的兩個(gè)極值點(diǎn)為 ，求證： .

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 見解析

【解析】試題分析:（1）由題意函數(shù)必有極值點(diǎn)，且極大值大于零，列對(duì)應(yīng)不等式，解得的范圍；（2）先求導(dǎo)數(shù)，得有兩個(gè)改變符號(hào)的零點(diǎn)，即導(dǎo)函數(shù)必有極值點(diǎn)，且極大值大于零，列對(duì)應(yīng)不等式，解得的范圍；（3）由（2）再利用極值點(diǎn)條件構(gòu)造函數(shù)，最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)最值證不等式

試題解析：方法一：

（1）

有兩個(gè)零點(diǎn)， 有兩個(gè)零點(diǎn)

時(shí)在上單調(diào)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意

在上↑，在上↓

又時(shí)，

必有兩個(gè)零點(diǎn)

（2）有兩個(gè)改變符號(hào)的零點(diǎn)

設(shè)則

時(shí)， 恒成立， 在上單調(diào)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意

由得： ，

在上↑，在上↓

，即

又

在各有一個(gè)零點(diǎn)

（3）由（2），結(jié)合h(1)=1-2a>0，知

設(shè)

在上↓，

方法二：分離參數(shù)法

（1），兩圖象有兩交點(diǎn)

令

當(dāng)

當(dāng)，

結(jié)合圖像， 。

（2）有兩個(gè)改變符號(hào)的零點(diǎn)

等價(jià)于對(duì)應(yīng)的兩函數(shù)的圖像有兩交點(diǎn)

令

當(dāng)

當(dāng)

結(jié)合圖象，

（3）由（2）