Question

【題目】定義：如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足 ，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)．現(xiàn)有函數(shù)f（x）=x3+mx是區(qū)間[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】﹣3＜m≤
【解析】解：函數(shù)f（x）=x3+mx是區(qū)間[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，故有x3+mx= 在（﹣1，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)根．

由x3+mx= x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．

又1（﹣1，1）

∴x2+m+1+x=0的解為： ，必為均值點(diǎn)，即 ﹣3＜m≤ ．

＜m≤

∴所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是﹣3＜m≤ ．

所以答案是：﹣3＜m≤ ．

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的值，掌握函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法即可以解答此題．