Question

（本小題滿(mǎn)分12分）某公司研發(fā)甲、乙兩種新產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查預(yù)測(cè)，甲產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）與投資（單位：萬(wàn)元）滿(mǎn)足：（為常數(shù)），且曲線(xiàn)與直線(xiàn)在（1，3）點(diǎn)相切；乙產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，且其圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，4）.

（1）分別求甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資資金間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知該公司已籌集到40萬(wàn)元資金，并將全部投入甲、乙兩種產(chǎn)品的研發(fā)，每種產(chǎn)品投資均不少于10萬(wàn)元.問(wèn)怎樣分配這40萬(wàn)元投資，才能使該公司獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？

（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

（1）甲：；乙：；

（2）當(dāng)甲產(chǎn)品投資15萬(wàn)元，乙產(chǎn)品投資25萬(wàn)元時(shí)，公司取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為21.124萬(wàn)元

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060606054937398576/SYS201506060605525071913599_DA/SYS201506060605525071913599_DA.003.png">，且，

∵點(diǎn)(1,3)在直線(xiàn)y=kx上，故有k=3 2分

又曲線(xiàn)y=f(x)與直線(xiàn)y=3x在點(diǎn)(1,3)處相切，

故有，

∴甲產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資資金間的函數(shù)關(guān)系式為 4分

由題意得乙產(chǎn)品投資與利潤(rùn)的關(guān)系式為

將點(diǎn)(4,4)代入（*）式，可得m=2

所以乙產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資資金間的函數(shù)關(guān)系式 6分

（2）設(shè)甲產(chǎn)品投資x萬(wàn)元，則乙產(chǎn)品投資（40-x）萬(wàn)元，且，則該公司所得利潤(rùn)為

8分

故有，

令，解得，

令，解得，

所以x=15為函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是函數(shù)的最大值點(diǎn) 10分

所以（萬(wàn)元） 11分

所以當(dāng)甲產(chǎn)品投資15萬(wàn)元，乙產(chǎn)品投資25萬(wàn)元時(shí)，公司取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為21.124萬(wàn)元 12分

考點(diǎn)：此題考查函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程