【題目】如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)分別是棱上的點(diǎn)滿足．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接、,由平面幾何的知識(shí)可得、，再由線面垂直的判定與性質(zhì)即可得證；

（Ⅱ）過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由面面垂直的判定與性質(zhì)可得平面，即可得是所求線面角，由平面幾何的知識(shí)結(jié)合余弦定理可得線段、的長(zhǎng)度，即可得解.

（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接、,因?yàn)?/span>，

故，且，所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，故；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，且平面，

故平面平面，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

由平面平面可得平面，

過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

所以平面，即是與平面所成的角．

過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接、，

因?yàn)?/span>，，

所以即，

所以，所以，

因?yàn)?/span>，所以，，

所以，,

由，得，，

又由得，

所以由余弦定理得，

故，

所以有，

所以直線與平面所成角的正弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)，且，在以為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度）中，曲線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)直線經(jīng)過定點(diǎn)，且與曲線交于、兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求點(diǎn)的直角坐標(biāo)及曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）求證：不論為何值時(shí)，為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】武漢出現(xiàn)的新型冠狀病毒是一種可以通過飛沫傳播的變異病毒，某藥物研究所為篩查該新型冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有份血液樣本，每份樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；②混合檢驗(yàn)，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份血液全為陰性，因此這k份血液樣本檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份血液再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陰性還是陽(yáng)性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為.

（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份為陽(yáng)性，若采取逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；

（2）現(xiàn)取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

（i）試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，若，試求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；

（ii）若，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得這k份血液樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，，，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年4月，河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等8省市發(fā)布高考綜合改革實(shí)施方案，決定從2018年秋季入學(xué)的高中一年級(jí)學(xué)生開始實(shí)施“”高考模式.所謂“”，即“3”是指考生必選語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)這三科；“1”是指考生在物理、歷史兩科中任選一科；“2”是指考生在生物、化學(xué)、思想政治、地理四科中任選兩科.

（1）若某考生按照“”模式隨機(jī)選科，求選出的六科中含有“語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，外語(yǔ)，物理，化學(xué)”的概率.

（2）新冠疫情期間，為積極應(yīng)對(duì)“”新高考改革，某地高一年級(jí)積極開展線上教學(xué)活動(dòng).教育部門為了解線上教學(xué)效果，從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生2500名參加語(yǔ)數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測(cè)試，并給前400名頒發(fā)榮譽(yù)證書，假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布，且滿分為450分.

①考生甲得知他的成績(jī)?yōu)?/span>270分，考試后不久了解到如下情況：“此次測(cè)試平均成績(jī)?yōu)?/span>171分，351分以上共有57人”，請(qǐng)用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)甲能否獲得榮譽(yù)證書，并說明理由；

②考生丙得知他的實(shí)際成績(jī)?yōu)?/span>430分，而考生乙告訴考生丙：“這次測(cè)試平均成績(jī)?yōu)?/span>201分，351分以上共有57人”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙同學(xué)辨別乙同學(xué)信息的真?zhèn)�，并說明理由.

附：；

；

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)在上的最值；

（2）若對(duì)，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，三棱錐S一ABC中，△ABC與△SBC都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小為，若S，A，B，C四點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為（ ）

A.πB.πC.πD.3π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的切線，，切點(diǎn)分別為，，滿足.

（1）求的軌跡方程

（2）求的面積(用的橫坐標(biāo)表示)

（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為（），與之相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為，將f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）的圖象，則（ ）

A.g（x）為偶函數(shù)

B.g（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為

C.g（x）為奇函數(shù)

D.函數(shù)g（x）在上有兩個(gè)零點(diǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地出現(xiàn)了蟲害，農(nóng)業(yè)科學(xué)家引入了“蟲害指數(shù)”數(shù)列，表示第周的蟲害的嚴(yán)重程度，蟲害指數(shù)越大，嚴(yán)重程度越高，為了治理蟲害，需要環(huán)境整治、殺滅害蟲，然而由于人力資源有限，每周只能采取以下兩個(gè)策略之一：

策略：環(huán)境整治，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足；

策略：殺滅害蟲，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足；

當(dāng)某周“蟲害指數(shù)”小于1時(shí)，危機(jī)就在這周解除.

（1）設(shè)第一周的蟲害指數(shù)，用哪一個(gè)策略將使第二周的蟲害嚴(yán)重程度更�。�

（2）設(shè)第一周的蟲害指數(shù)，如果每周都采用最優(yōu)的策略，蟲害的危機(jī)最快在第幾周解除？

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