Question

【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍;

（2）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為：，，證：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題得，令，則函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)得到，解不等式即得解；

（2）分析得到要證：，只需證明，即證，不妨設(shè)，即證，構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)，其中，證明即得證.

（1）由題意可知，的定義域?yàn)?/span>，

且，

令，

則函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

由可知，

當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)，不符合題意，舍去.

當(dāng)時(shí)，由得，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

由得，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

故要滿足題意，必有，解得.

（2）證明：由（1）可知，，

故要證，

只需證明，

即證，不妨設(shè)，即證，

構(gòu)造函數(shù)，其中，

由，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以得證.

即證.