(2012•黃州區(qū)模擬)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:A1B∥平面ADC1;
(Ⅱ)求二面角C1-AD-C的余弦值;
(Ⅲ)試問線段A1B1上是否存在點(diǎn)E,使AE與DC1成60°角?若存在,確定E點(diǎn)位置,若不存在,說明理由.
分析:(Ⅰ)證明線面平行,可以利用線面平行的判定定理,只要證明 A1B∥OD即可;
(Ⅱ)可判斷BA,BC,BB1兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,求得平面ADC1的法向量、平面ADC的法向量,利用向量數(shù)量積可求二面角C1-AD-C的余弦值;
(Ⅲ)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E,根據(jù)AE與DC1成60°角,利用向量的數(shù)量積,可得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)證明:連接A1C,交AC1于點(diǎn)O,連接OD.
由ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點(diǎn).
又D為BC中點(diǎn),所以O(shè)D為△A1BC中位線,
所以 A1B∥OD,
因?yàn)?nbsp;OD?平面ADC1,A1B?平面ADC1,
所以 A1B∥平面ADC1.…(4分)
(Ⅱ)解:由ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,
故BA,BC,BB1兩兩垂直.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz.設(shè)BA=2,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0).
所以 
AD
=(1,-2,0)
AC1
=(2,-2,1)

設(shè)平面ADC1的法向量為
n
=(x,y,z),則有
n
AD
=0
n
AC1
=0

所以 
x-2y=0
2x-2y+z=0.
取y=1,得
n
=(2,1,-2).
平面ADC的法向量為
v
=(0,0,1).
由二面角C1-AD-C是銳角,得 cos<
n
,
v
>=
|
n
v
|
|
n
||
v
|
=
2
3
.…(8分)
所以二面角C1-AD-C的余弦值為
2
3

(Ⅲ)解:假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E.
因?yàn)镋在線段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可設(shè)E(0,λ,1),其中0≤λ≤2.
所以 
AE
=(0,λ-2,1)
DC1
=(1,0,1)

因?yàn)锳E與DC1成60°角,所以|
AE
DC1
|
AE
||
DC1
|
|=
1
2

|
1
(λ-2)2+1
2
|=
1
2
,解得λ=1,舍去λ=3.
所以當(dāng)點(diǎn)E為線段A1B1中點(diǎn)時(shí),AE與DC1成60°角.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查線面平行,考查面面角,考查存在性問題的探究,解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定定理,正確運(yùn)用向量的方法解決面面角、線線角.
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(2012•黃州區(qū)模擬)已知向量
m
=(cos
x
2
,-1),
n
=(
3
sin
x
2
,cos2
x
2
),設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n
+1.
(1)若x∈[0,
π
2
],f(x)=
11
10
,求cosx的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足2bcosA≤2c-
3
a,求f(x)的取值范圍.

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3+
2
+
3
3+
2
+
3

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|log
x
4
-1|-2,|x|≤1
1
1+x
1
3
,|x|>1
,則f(f(27))=( 。

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