Question

【題目】已知遞增等比數(shù)列{an}，滿足a1=1，且a2a4﹣2a3a5+a4a6=36．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=log3an+ ，求數(shù)列{an2bn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）在（2）的條件下，令cn= ，{cn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 若Tn＞λ恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)遞增等比數(shù)列{an}的公比為q，

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a32﹣2a3a5+a52=36，

即有（a3﹣a5）2=62，

可得a5﹣a3=6，

即q4﹣q2=6，解得q2=3（﹣2舍去），

即有q= ，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=（ ）n﹣1

（2）解：bn=log3an+ =（n﹣1）log3 + = ，

數(shù)列{an2bn}的通項(xiàng)為 n3n﹣1．

前n項(xiàng)和Sn= （1+23+332+433+…+n3n﹣1），

3Sn= （13+232+333+434+…+n3n），

兩式相減可得，﹣2Sn= （1+3+32+33+…+3n﹣1﹣n3n）

= （ ﹣n3n），化簡可得Sn= ﹣

（3）解：cn= = =4（ ﹣ ），

{cn}的前n項(xiàng)和為Tn=4（ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

=4（ ﹣ ）=2﹣ ，

由2﹣ 為遞增數(shù)列，即有n=1時(shí)，取得最小值2﹣ = ．

由Tn＞λ恒成立，可得λ＜

【解析】（1）設(shè)遞增等比數(shù)列{an}的公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)，計(jì)算即可得到q，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；（2）化簡bn=log3an+ =（n﹣1）log3 + = ，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法可得前n項(xiàng)和Sn；（3）求得cn= = =4（ ﹣ ），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，可得Tn ， 判斷單調(diào)性，求得最小值，再由不等式恒成立思想可得λ的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）的相關(guān)知識，掌握通項(xiàng)公式：，以及對數(shù)列的前n項(xiàng)和的理解，了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．