Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$
（1）若函數(shù)在區(qū)間（a，a+$\frac{1}{2}$）（其中a＞0）上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，求證：不等式f（x）＞$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，則f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，進(jìn)而的a的取值范圍．
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）＞$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立．等價(jià)于：2cos2x＜$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$=1+$\frac{1}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$=g（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性可得其最小值，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 （1）解：f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，則f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f（x）在x=1處取得極大值．
∵函數(shù)在區(qū)間（a，a+$\frac{1}{2}$）（其中a＞0）上存在極值，
∴$0＜a＜1＜a+\frac{1}{2}$，
解得$\frac{1}{2}＜a＜1$．
（2）證明：當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）＞$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立．
等價(jià)于：2cos2x＜$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$=1+$\frac{1}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$=g（x），
x≥1時(shí)，x＞lnx．
g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$＞0，
因此函數(shù)g（x）在x≥1時(shí)單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（1）=2．當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．
而x=1時(shí)，2cos2x＜2．x＞1時(shí)，2cos2x≤2．
∴2cos2x＜$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$恒成立．
則原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．