已知數(shù)列{an} 的首項(xiàng)為1,前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a n+1=3Sn,n∈N*.?dāng)?shù)列{bn}滿足bn=log4an
(1)求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)n∈N*時(shí),試比較b1+b2+…+bn與與(n-1)2的大小,并說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)an+1=3Sn得an+2=3Sn+1兩式相減整理可得 ,進(jìn)而可判斷出數(shù)列{an} 從第二項(xiàng)起是以4為公比的等比數(shù)列.進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得當(dāng)n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式,最后綜合可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)把(1)中的代入bn=log4an求得bn,進(jìn)而對(duì)b1+b2+b3+…+bn進(jìn)行分組求和求得b1+b2+b3+…+bn=
進(jìn)而根據(jù) 證明原式.
解答:解:(I)由an+1=3Sn(1),得an+2=3Sn+1(2),
由(2)-(1)得an+1-an+1=3an+1,
整理,得 ,n∈N*
所以,數(shù)列a2,a3,a4,…,an,是以4為公比的等比數(shù)列.
其中,a2=3S1=3a1=3,
所以 ;
(II)由題意,
當(dāng)n≥2時(shí),b1+b2+b3+…+bn
=0+(log43+0)+(log43+1)+…+(log43+n-2)
=
=
=,
所以
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了數(shù)列的求和問題.根據(jù)an+1=3Sn求得數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵,得到數(shù)列{an} 從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列,是易錯(cuò)點(diǎn),考查運(yùn)算能力,屬中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn+
an2
=3,n∈N*
,又bn是an與an+1的等差中項(xiàng),求{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n-2an-34,n∈N+
(1)證明:{an-1}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式,并求出使得Sn+1>Sn成立的最小正整數(shù)n.

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