Question

16．射洪縣教育局從去年參加了計算機職稱考試，并且年齡在[25，55]歲的教師中隨機抽取n人的成績進(jìn)行了調(diào)查，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

組數(shù)	分組	低碳族的人數(shù)	占本組的頻率
第一組	[25，30）	120	0.6
第二組	[30，35）	195	p
第三組	[35，40）	100	0.5
第四組	[40，45）	a	0.4
第五組	[45，50）	30	q
第六組	[50，55）	15	0.3

（1）補全頻率分布直方圖，并求a、p、q的值；
（2）若用以上數(shù)據(jù)來估計今年參考老師的過關(guān)情況，并將每組的頻率視作對應(yīng)年齡階段老師的過關(guān)概率，考試是否過關(guān)互不影響．現(xiàn)有三名教師參加該次考試，年齡分別為41歲、47歲、53歲．記ξ為過關(guān)的人數(shù)，請利用相關(guān)數(shù)據(jù)求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率和為1，計算[30，35）內(nèi)的頻率，求出對應(yīng)小矩形的高，
補全頻率分布直方圖，計算樣本容量n以及p、a和q的值；
（2）求出年齡分別為41歲、47歲、53歲過關(guān)的概率，
得ξ的可能取值，求出對應(yīng)的概率值，寫出ξ的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)頻率和為1，得[30，35）內(nèi)的頻率為
1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
∴$\frac{0.3}{5}$=0.06，
∴補全頻率分布直方圖如圖所示：

第一組的人數(shù)為$\frac{120}{0.6}$=200，頻率為0.04×5=0.2，
∴n=$\frac{200}{0.2}$=1000；
第二組的頻率為0.3，
∴第二組的人數(shù)為1000×0.3=300，
∴p=$\frac{195}{300}$=0.65；
第四組共有1000×0.15=150人，
∴a=150×0.4=60；
第五組共有1000×0.1=100人，
∴q=30÷100=0.3；
綜上，a=60，p=0.65，q=0.3；
（2）根據(jù)題意，年齡分別為41歲、47歲、53歲過關(guān)的概率分別為$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{10}$，$\frac{3}{10}$，
則P（ξ=0）=$\frac{3}{5}$×$\frac{7}{10}$×$\frac{7}{10}$=$\frac{147}{500}$，P（ξ=1）=$\frac{2}{5}$×$\frac{7}{10}$×$\frac{7}{10}$+2×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{10}$×$\frac{7}{10}$=$\frac{224}{500}$，
P（ξ=2）=2×$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{10}$×$\frac{7}{10}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{10}$×$\frac{3}{10}$=$\frac{111}{500}$，
P（ξ=3）=$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{10}$×$\frac{3}{10}$=$\frac{18}{500}$；
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{147}{500}$	$\frac{224}{500}$	$\frac{111}{500}$	$\frac{18}{500}$

數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×$\frac{147}{500}$+1×$\frac{224}{500}$+2×$\frac{111}{500}$+3×$\frac{18}{500}$=1．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是綜合題．