動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線,的距離之比為 .
(1)求的軌跡方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(與x軸不重合)與(1)中軌跡交于兩點(diǎn)、.探究是否存在一定點(diǎn)E(t,0),使得x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EM、EN的距離相等?若存在,求出t的值;若不存在,說(shuō)明理由.
(1) ;(2)2
【解析】
試題分析:(1)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線,的距離之比為 .根據(jù)兩點(diǎn)的距離即點(diǎn)到直線的距離公式,即可求出結(jié)論.
(2)根據(jù)題意假設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程消去y,得到一個(gè)關(guān)于x的二次方程,寫出韋達(dá)定理得到M,N的坐標(biāo)的關(guān)系式.因?yàn)轭}意要求x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EM、EN的距離相等,所以滿足.結(jié)合韋達(dá)定理,即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)由題意得, ,
化簡(jiǎn)得, ,即,即點(diǎn)的軌跡方程
(2)若存在點(diǎn)E(t,0)滿足題設(shè)條件.并設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),
當(dāng)⊥x軸時(shí),由橢圓的對(duì)稱性可知,x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EM、EN的距離相等
當(dāng)與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0).
,得,
所以
根據(jù)題意,x軸平分∠MEN,則直線ME、NE的傾斜角互補(bǔ),即KME+KNE=0.
設(shè)E(t,0),則有(當(dāng)x1=t或x2=t時(shí)不合題意)
又k≠0,所以,將y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)代入上式,得
又k≠0,所以,即,
,,將代入,解得t=2.
綜上,存在定點(diǎn)E(2,0),使得x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EM、EN的距離相等.
考點(diǎn):1.待定系數(shù)求橢圓的方程.2.直線與橢圓的位置關(guān)系.3.歸納轉(zhuǎn)化的思想.4.運(yùn)算能力.
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EF |
FM |
MQ |
PQ |
EF |
PM |
FQ |
3 |
4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2004全國(guó)各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學(xué) 題型:044
如圖:A、B是兩個(gè)定點(diǎn),且|AB|=2,動(dòng)點(diǎn)M到A點(diǎn)的距離是4,線段MB的垂直平分線l交MA于點(diǎn)P,直線k垂直于直線AB,且B點(diǎn)到直線k的距離為3.
(Ⅰ)建立適當(dāng)的坐標(biāo)系,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)求證:點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)P到直線k的距離之比為定值;
(Ⅲ)(理)若點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積為m,當(dāng)m取最大值時(shí),求P點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年上海市崇明縣高三高考模擬考試二模理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知曲線上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離之比為常數(shù).
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)引曲線C的弦AB恰好被點(diǎn)平分,求弦AB所在的直線方程;
(3)以曲線的左頂點(diǎn)為圓心作圓:,設(shè)圓與曲線交于點(diǎn)與點(diǎn),求的最小值,并求此時(shí)圓的方程.
【解析】第一問利用(1)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為D.
代入坐標(biāo)得到
第二問當(dāng)斜率k不存在時(shí),檢驗(yàn)得不符合要求;
當(dāng)直線l的斜率為k時(shí),;,化簡(jiǎn)得
第三問點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于X軸對(duì)稱,設(shè),, 不妨設(shè).
由于點(diǎn)M在橢圓C上,所以.
由已知,則
,
由于,故當(dāng)時(shí),取得最小值為.
計(jì)算得,,故,又點(diǎn)在圓上,代入圓的方程得到.
故圓T的方程為:
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