Question

已知橢圓的焦點(diǎn)是F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），P為橢圓上一點(diǎn)，且|F₁F₂|是|PF₁|和|PF₂|的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求△PF₁F₂面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓和數(shù)列的基本性質(zhì)以及題中已知條件便可求出a和b值，進(jìn)而求得橢圓方程；（Ⅱ）先表達(dá)出△PF₁F₂面積，再結(jié)合圖形求面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4（2分）∴2a=4，2c=2，∴b=

3

（4分）
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（6分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）△PF₁F₂面積S=

1

2

|F1F2|•|y|=

1

2

×2c×|y|=

1

2

×2|y|=|y|（8分）
所以當(dāng)|y|取最大值時(shí)，△PF₁F₂面積的面積最大，所以點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)|y|取最大值（10分）
此時(shí)y=±

3

，即P（0，±

3

），△PF₁F₂面積的最大值S=

3

（12分）

點(diǎn)評：本題橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解利用了橢圓的定義，關(guān)鍵是求出其基本量，求面積的最大值，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)到y(tǒng)軸距離最大問題，則利用了圖形可以解決，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合得數(shù)學(xué)思想．