Question

某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為G（x）（萬(wàn)元），其中固定成本為2.8萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．銷售收入R（x）（萬(wàn)元）滿足R(x)=

-0.4x2+4.2x(0≤x≤5) 11(x＞5)

，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)y=f（x）的解析式（利潤(rùn)=銷售收入-總成本）；
（2）要使工廠有盈利，求產(chǎn)量x的范圍；
（3）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多？

Answer 1

分析：（1）由題意得G（x）=2.8+x．由R(x)=

-0.4x2+4.2x(0≤x≤5) 11，(x＞5)

，f（x）=R（x）-G（x），能寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，由f（x）=-0.4x²+3.2x-2.8＞0，得1＜x≤5；當(dāng)x＞5時(shí)，由f（x）=8.2-x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工廠有盈利，產(chǎn)量x的范圍．
（3）當(dāng)x＞5時(shí)，由函數(shù)f（x）遞減，知f（x）＜f（5）=3.2（萬(wàn)元）．當(dāng)0≤x≤5時(shí)，函數(shù)f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值為3.6（萬(wàn)元）．由此能求出工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多．

解答：解：（1）由題意得G（x）=2.8+x．…（2分）
∵R(x)=

-0.4x2+4.2x(0≤x≤5) 11，(x＞5)

，…（4分）
∴f（x）=R（x）-G（x）
=

-0.4x2+3.2x-2.8(0≤x≤5) 8.2-x(x＞5)

．…（6分）
（2）∵f（x）=

-0.4x2+3.2x-2.8(0≤x≤5) 8.2-x(x＞5)

，
∴當(dāng)0≤x≤5時(shí)，由f（x）=-0.4x²+3.2x-2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）
當(dāng)x＞5時(shí)，由f（x）=8.2-x＞0，得5＜x＜8.2．
∴要使工廠有盈利，求產(chǎn)量x的范圍是（1，8.2）．．…（8分）
（3）∵f（x）=

-0.4x2+3.2x-2.8(0≤x≤5) 8.2-x(x＞5)

，
∴當(dāng)x＞5時(shí)，函數(shù)f（x）遞減，
∴f（x）＜f（5）=3.2（萬(wàn)元）．…（10分）
當(dāng)0≤x≤5時(shí)，函數(shù)f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，
當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值為3.6（萬(wàn)元）．…（14分）
所以當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺(tái)時(shí)，可使贏利最大為3.6萬(wàn)元．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)際中的具體應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．