Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)P．證明：為定值．
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知a=2，b=c，b²=2，由此可知橢圓方程為．
（2）設(shè)M（2，y），P（x₁，y₁），，直線CM：，代入橢圓方程x²+2y²=4，得，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系能夠推導(dǎo)出為定值．
（3）設(shè)存在Q（m，0）滿足條件，則MQ⊥DP．，再由，由此可知存在Q（0，0）滿足條件．
解答：解：（1）a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2；
∴橢圓方程為（4分）
（2）C（-2，0），D（2，0），設(shè)M（2，y），P（x₁，y₁），

直線CM：，代入橢圓方程x²+2y²=4，
得（6分）
∵，∴（8分）
∴（定值）（10分）
（3）設(shè)存在Q（m，0）滿足條件，則MQ⊥DP（11分）
（12分）
則由，從而得m=0
∴存在Q（0，0）滿足條件（14分）
點(diǎn)評：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．