Question

（2010•柳州三模）已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²（t＞0且t≠1）．x=

t

是函數(shù)f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=2(1-

1

an

)，當(dāng)t=2時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＞2008的n的最小值；
（3）當(dāng)t=2時(shí)，是否存在指數(shù)函數(shù)g（x），使得對(duì)于任意的正整數(shù)n有

k

k=1

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

3

成立？若存在，求出滿足條件的一個(gè)g（x）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)求導(dǎo)令f′(

t

)=0，即3an-1(

t

)2-3[(t+1)an-an+1](n≥2)．變形可得a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）符合等比數(shù)列的定義，利用通項(xiàng)公式求解．
（2）由（1）求得bn=

2(2n-1)

2n

=2-

1

2n-1

，再求得S_n=2n-2(1-

1

2n

)=2n-2+2•

1

2n

.由S_n＞2008，得2n-2+2(

1

2

)n＞2008，n+(

1

2

)n＞1005，當(dāng)n≤1400時(shí)，n+(

1

2

)n＜1005，當(dāng)n≥1005時(shí)，n+(

1

2

)n＞1500，取得n最小值
（3）由

1

(ak+1)(ak+1+1)

=

1

(2k+1)(2k+1+1)

=

1

2k

(

1

2k+1

-

1

2k+1+1

)想到裂項(xiàng)相消法求和，由其結(jié)構(gòu)不妨設(shè)g（k）=2^k，運(yùn)算驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）f'（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]（n≥2）．
由題意f′(

t

)=0，即3an-1(

t

)2-3[(t+1)an-an+1](n≥2)．（1分）
∴a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2）
∵t＞0且t≠1，∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以t²-t為首項(xiàng)，t為公比的等比數(shù)列，（2分）
∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1=（t-1）•tⁿ，
∴a₂-a₁=（t-1）t，
a₃-a₂=（t-1）•t²，
a_n-a_n-1=（t-1）t^n-1
以上各式兩邊分別相加得a_n-a₁=（t-1）（t+t²+t^n-1），∴a_n=tⁿ（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，∴a_n=tⁿ（5分）
（2）當(dāng)t=2時(shí)，bn=

2(2n-1)

2n

=2-

1

2n-1

∴Sn=2n-(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2(1-

1

2n

)=2n-2+2•

1

2n

.（7分）
由S_n＞2008，得2n-2+2(

1

2

)n＞2008，n+(

1

2

)n＞1005，（8分）
當(dāng)n≤1400時(shí)，n+(

1

2

)n＜1005，當(dāng)n≥1005時(shí)，n+(

1

2

)n＞1500，
因此n的最小值為1005．（10分）
（3）∵

1

(ak+1)(ak+1+1)

=

1

(2k+1)(2k+1+1)

=

1

2k

(

1

2k+1

-

1

2k+1+1

)
令g（k）=2^k，則有：

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

=

1

2k+1

-

1

2k+1+1

則

n

k=1

(

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

=

n

k=1

(

1

2k+1+1

-

1

2k+1+1

)=(

1

2+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)++(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

（13分）
即函數(shù)g（k）=2^x滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)，變形求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和以及數(shù)列不等式的解法，多數(shù)是用放縮法．