Question

設(shè)不等式組

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為a_n（n∈N^*）（整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=3n（n∈N^*）．
（2）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且T_n=

Sn

3•2n-1

．若對(duì)于一切的正整數(shù)n，總有T_n≤m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0知0＜x＜3，易知x=1，或x=2，D_n內(nèi)的整點(diǎn)在直線(xiàn)x=1和x=2上，設(shè)直線(xiàn)y=-nx+3n為l，l與直線(xiàn)x=1、x=2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，可求得其值，從而可證數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=3n（n∈N^*）．
（2）易求S_n=

3n(1+n)

2

，T_n=

Sn

3•2n-1

=

n(n+1)

2n

，T_n+1-T_n=-

(n+1)(n-2)

2n+1

，經(jīng)分析知T₂，T₃是數(shù)列{T_n}中的最大項(xiàng)，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： （1）證明：由x＞0，y＞0，3n-nx＞0，得0＜x＜3．
∴x=1，或x=2．
∴D_n內(nèi)的整點(diǎn)在直線(xiàn)x=1和x=2上．
記直線(xiàn)y=-nx+3n為l，l與直線(xiàn)x=1、x=2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂．
則y₁=-n+3n=2n，y₂=-2n+3n=n．
∴a_n=3n（n∈N^*）．
（2）解：∵S_n=3（1+2+3+…+n）=

3n(1+n)

2

，
∴T_n=

Sn

3•2n-1

=

n(n+1)

2n

，
∴T_n+1-T_n=

(n+1)(n+2)

2n+1

-

n(n+1)

2n

=-

(n+1)(n-2)

2n+1

，
∴當(dāng)n≥3時(shí)，T_n＞T_n+1，且T₁=1＜T₂=T₃=

3

2

．
于是T₂，T₃是數(shù)列{T_n}中的最大項(xiàng)，故m≥T₂=

3

2

．
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[

3

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的確定，考查數(shù)列單調(diào)性與最值的綜合應(yīng)用，屬于難題．