在平面直角坐標(biāo)系中，定義以原點(diǎn)為圓心，以
a2+b2
為半徑的圓O為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
3
，直線l：2x-y+5=0與橢圓C的“準(zhǔn)圓”相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）P為橢圓C的右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓C的“準(zhǔn)圓”的切線段PQ，點(diǎn)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，求證：|PQ|=|PF|
（3）過點(diǎn)M(-
6
5
，0)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，為Q橢圓C的左頂點(diǎn)，是否存在直線l使得△QAB為直角三角形？
分析：（1）由于直線l：2x-y+5=0與橢圓C的“準(zhǔn)圓”相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得
a2+b2
=
5
22+(-1)2
=
5
，即a2+b2=5，聯(lián)立
a2+b2=5
e=
c
a
=
3
3
a2=b2+c2
，解得即可；
（2）橢圓C的準(zhǔn)線方程為x=
a2
c
=3，可設(shè)P（3，t）．利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|PF|2．由于PQ與橢圓C的準(zhǔn)圓x2+y2=5相切于點(diǎn)Q，利用勾股定理可得|PQ|2=|OP|2-r2，即可證明結(jié)論．
（3）假設(shè)存在直線l使得△QAB為直角三角形，只有可能∠AQB=90°．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．設(shè)直線l的方程為：my=x+
6
5
，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，令
AQ
•
BQ
=0，若解出m的值證明存在△QAB為直角三角形，否則不存在．
解答：解：（1）∵直線l：2x-y+5=0與橢圓C的“準(zhǔn)圓”相切，∴
a2+b2
=
5
22+(-1)2
=
5
，化為a2+b2=5，聯(lián)立
a2+b2=5
e=
c
a
=
3
3
a2=b2+c2
，解得a2=3，b2=2，c=1．
∴橢圓C的方程為
x2
3
+
y2
2
=1；
（2）如圖所示，∵橢圓C的準(zhǔn)線方程為x=
a2
c
=3，可設(shè)P（3，t）．∵橢圓C的焦點(diǎn)F（1，0），∴|PF|2=（3-1）2+（t-0）2=4+t2．
∵PQ與橢圓C的準(zhǔn)圓x2+y2=5相切于點(diǎn)Q，∴|PQ|2=|OP|2-r2=32+t2-5=4+t2，
∴|PQ|2=|PF|2，∴|PQ|=|PF|．
（3）假設(shè)存在直線l使得△QAB為直角三角形，可能∠AQB=90°，∠QAB=90°，或∠QBA=90°
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
設(shè)直線l的方程為：my=x+
6
5
，聯(lián)立
my=x+
6
5
x2
3
+
y2
2
=1
化為（75+50m2）y2-120my-78=0．
∴y1+y2=
120m
75+50m2
，y1y2=
-78
75+50m2
．
①由
QA
•
QB
=(x1+
3
，y1)•(x2+
3
，y2)=(my1-
6
5
+
3
，y1)•(my2-
6
5
+
3
，y2)
=(m2+1)y1y2+(
3
-
6
5
)m(y1+y2)+(
3
-
6
5
)2
=
-78(1+m2)
75+50m2
+
120•(
3
-
6
5
)m2
75+50m2
+(
3
-
6
5
)2=0，
化為[(
3
-
6
5
)2×50-222]m2=78-75(
3
-
6
5
)2，無解，此時(shí)不存在直線l滿足條件．
②令
QA
•
MA
=(x1+
3
，y1)•(x1+
6
5
，y1)=
x
2
1
+(
3
+
6
5
)x1+
6
3
5
+
y
2
1
=
x
2
1
+(
3
+
6
5
)x1+
6
3
5
+(2-
2
x
2
1
3
)=
1
3
x
2
1
+(
3
+
6
5
)x1+
10+6
3
5
=0，
∵△=(
3
+
6
5
)2-4×
1
3
×
10+6
3
5
＞0，∴此時(shí)存在兩個(gè)A點(diǎn)滿足條件；
同理存在兩個(gè)B點(diǎn)滿足條件．
綜上可知：存在四條直線l滿足條件．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線與圓相切問題、勾股定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)，則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點(diǎn)，若AC與BD的交點(diǎn)F恰好為拋物線的焦點(diǎn)，則r=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案