Question

（本小題滿(mǎn)分13分）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知，，若且橢圓的離心率，又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，（為半焦距），求直線的斜率的值；

（Ⅲ）試問(wèn)：的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓的方程為 （Ⅱ）（Ⅲ）三形的面積為定值

【解析】（Ⅰ）∵   …………………2分

∴    ∴橢圓的方程為   ………………3分

（Ⅱ）依題意，設(shè)的方程為

 由

 顯然

   …………………5分

 由已知得：

           …6分

                   ……………7分

  解得   ……………………8分

（Ⅲ）（1）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即，由

               得

            又在橢圓上， 所以

               ………………9分

         所以三角形的面積為定值.

    （2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)：設(shè)的方程為

          

        必須 即

        得到，  …………………10分

         ∵，∴

        代入整理得：   ……………………11分

    …………………12分

    …………………13分

 所以三形的面積為定值.