Question

已知點分別是橢圓的左、右焦點, 點在橢圓上上.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程;

（Ⅱ）設直線若、均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點,點到的距離之積恒為1?若存在,請求出點坐標;若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）滿足題意的定點存在,其坐標為或

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的定義和標準方程以及直線與橢圓的位置關系等數學知識，考查分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，法一：利用焦點坐標求出，由于點在橢圓上，得到方程，又因為三個參量的關系得，聯立，解出，從而得到橢圓的方程；法二：利用橢圓的定義，，利用兩點間的距離公式計算得出的值，從而得到橢圓的方程；第二問，直線與橢圓聯立，由于它們相切，所以方程只有一個根，所以，同理直線與橢圓聯立得到表達式，假設存在點，利用點到直線的距離，列出表達式，將代入整理，使得到的表達式，解出的值，從而得到點坐標.

試題解析：(1)法一：由,得, 1分

2分

∴橢圓的方程為 4分

法二：由,得, 1分

3分

∴

∴橢圓的方程為 4分

(2)把的方程代入橢圓方程得 5分

∵直線與橢圓相切,∴,化簡得

同理把的方程代入橢圓方程也得: 7分

設在軸上存在點,點到直線的距離之積為1,則

,即, 9分

把代入并去絕對值整理, 或者 10分

前式顯然不恒成立;而要使得后式對任意的恒成立 則,解得;

綜上所述,滿足題意的定點存在,其坐標為或 12分

考點：1.橢圓的標準方程；2.橢圓的定義；3.兩點間的距離公式；4.點到直線的距離公式.