Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若對x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），對函數(shù)f（x）的單調區(qū)間列表能求出函數(shù)f（x）的極值．
（2）求出f（2）=2+c為最大值，要使f（x）＜c²（x∈[-1，2]）恒成立，只需c²＞f（2）=2+c，由此能求出實數(shù)c的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c．
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
函數(shù)f（x）的單調區(qū)間如下表：

x	（-∞，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴f（x）_極大值=f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{22}{27}+c$，f（x）_極小值=f（1）=-$\frac{3}{2}+c$．
（2）∵f（x）=x³-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x+c，x?〔-1，2〕，
當x=-$\frac{2}{3}$時，f（x）=$\frac{22}{27}$+c為極大值，而f（2）=2+c，則f（2）=2+c為最大值．
∴要使f（x）＜c²（x∈[-1，2]）恒成立，只需c²＞f（2）=2+c
解得c＜-1或c＞2，
∴實數(shù)c的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的極值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．