【題目】已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2acosC=bcosC+ccosB.
(1)求角C的大;
(2)若c=,a2+b2=10,求△ABC的面積.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由正弦定理得2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB,由A+B+C=π,求出cosC=,由此求出∠C.(2)由余弦定理得7=10﹣ab,從而ab=3,由此能求出△ABC的面積.
(1)∵△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2acosC=bcosC+ccosB,
∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB,
∵A+B+C=π,∴2sinAcosC=sin(B+C)=sinA,
∴cosC=,∵0<C<π,∴∠C=.
(2)∵c=,a2+b2=10,,
∴由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC,
即7=10﹣ab,解得ab=3,
∴△ABC的面積S===.
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【題目】如圖,已知等邊中, , 分別為, 邊的中點, 為的中點, 為邊上一點,且,將沿折到的位置,使平面平面.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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【題目】自貢某個工廠于2016年下半年對生產工藝進行了改造(每半年為一個生產周期),從2016年一年的產品中用隨機抽樣的方法抽取了容量為50的樣本,用莖葉圖表示如圖所示,已知每個生產周期內與其中位數(shù)誤差在±5范圍內(含±5)的產品為優(yōu)質品,與中位數(shù)誤差在±15范圍內(含±15)的產品為合格品(不包括優(yōu)質品),與中位數(shù)誤差超過±15的產品為次品.企業(yè)生產一件優(yōu)質品可獲利潤20元,生產一件合格品可獲利潤10元,生產一件次品要虧損10元.
(Ⅰ)求該企業(yè)2016年一年生產一件產品的利潤的分布列和期望;
(Ⅱ)是否有95%的把握認為“優(yōu)質品與生產工藝改造有關”.
附:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2= .
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【題目】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對邊分別是a,b,c,若sin(A﹣B)= sinAcosB﹣ sinBcosA.
(1)求證:A=B;
(2)若A= ,a= ,求△ABC的面積.
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【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮,央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏.將中學組和大學組的參賽選手按成績分為優(yōu)秀、良好、一般三個等級,隨機從中抽取了100名選手進行調查,下面是根據(jù)調查結果繪制的選手等級人數(shù)的條形圖.
(1)若將一般等級和良好等級合稱為合格等級,根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,據(jù)此資料你是否有95%的把握認為選手成績“優(yōu)秀”與文化程度有關?
優(yōu)秀 | 合格 | 合計 | |
大學組 | |||
中學組 | |||
合計 |
注:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 7.879 |
(2)若參賽選手共6萬人,用頻率估計概率,試估計其中優(yōu)秀等級的選手人數(shù).
(3)在優(yōu)秀等級的選手中取6名,依次編號為1,2,3,4,5,6.在良好等級的選手中取6名,依次編號為1,2,3,4,5,6,在選出的6名優(yōu)秀等級的選手中任取一名,記其編號為,在選出的6名良好等級的選手中任取一名,記其編號為,求使得方程組有唯一一組實數(shù)解的概率.
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【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|x+a|﹣2a,其中a∈R.
(1)當a=﹣2時,求不等式f(x)≤2x+1的解集;
(2)若x∈R,不等式f(x)≤|x+1|恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)(kR),且滿足f(﹣1)=f(1).
(1)求k的值;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線沒有交點,求a的取值范圍;
(3)若函數(shù),x[0,log23],是否存在實數(shù)m使得h(x)最小值為0,若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
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