Question

設數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，前n項和為S_n，對于任意的n∈N₊，a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列，設數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且b_n=

(lnx)n

an2

，若對任意的實數(shù)x∈（1，e]（e是自然對數(shù)的底）和任意正整數(shù)n，總有T_n＜r（r∈N₊），則r的最小值為

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先根據(jù)題意，可得2S_n=a_n+a_n^2…①與2S_n-1=a_n-1+a_n-1^2…②成立，①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，化簡，可得a_n-a_n-1=1（n≥2），進而求出{a_n}是公差為1的等差數(shù)列；然后根據(jù)對數(shù)的性質，任意的x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，而a_n=n，則總有b_n=

(lnx)n

an2

≤

1

n2

，用放縮法和裂項相消法，可得T_n的范圍，進而求出r的最小值即可．

解答： 解：因為對于任意的n∈N₊，a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列，
所以2S_n=a_n+a_n^2…①，2S_n-1=a_n-1+a_n-1^2…②，
①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，
化簡，可得a_n-a_n-1=1（n≥2），
因此{a_n}是公差為1的等差數(shù)列；
又因為n=1時，2S₁=a₁+a₁²，
解得a₁=1，
所以a_n=n（n∈N^*）；
對任意實數(shù)x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，
對于任意正整數(shù)n，總有b_n=

(lnx)n

an2

≤

1

n2

，
因此T_n≤

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2，
所以T_n＜r（r∈N₊），則r的最小值為2．
故答案為：2．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質的運用，考查了放縮法和裂項相消法求和的范圍的運用，屬于中檔題．