Question

在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，?a，b∈R，a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：
（1）對(duì)任意a∈R，a*0=a；
（2）對(duì)任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
關(guān)于函數(shù)f（x）=（e^x）•

1

ex

的性質(zhì)，有如下說法：①函數(shù)f（x）的最小值為3；②函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；③函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0]．
其中所有正確說法的個(gè)數(shù)為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：性質(zhì)（2）可由性質(zhì)（1）化簡得，a*b=ab+a+b．則f（x）=1+e^x+

1

ex

，由基本不等式，即可判斷①；
由奇偶性的定義，求出f（-x），即可判斷②；可求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)不小于0，解出即可判斷③．

解答： 解：由于對(duì)任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0），
則由對(duì)任意a∈R，a*0=a，可得a*b=ab+a+b．
則有f（x）=（e^x）•

1

ex

=e^x•

1

ex

+e^x+

1

ex

=1+e^x+

1

ex

對(duì)于①，由于定義域?yàn)镽，則e^x＞0，1+e^x+

1

ex

≥1+2

ex• 1 ex

=3，
當(dāng)且僅當(dāng)e^x=

1

ex

，即有x=0，f（x）取最小值3，故①對(duì)；
對(duì)于②，由于定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=1+e^-x+

1

e-x

=1+e^x+

1

ex

=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)，故②對(duì)；
對(duì)于③，f′（x）=e^x-e^-x，令f′（x）≥0，則x≥0，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，+∞），故③錯(cuò)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)新定義運(yùn)算型問題，考查了函數(shù)的最值、奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)以及同學(xué)們類比運(yùn)算解決問題的能力．