Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{ax+b}$，a，b∈R，a≠0，b≠0，f（1）=$\frac{1}{2}$，且方程f（x）=x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解；
（1）求a、b的值；
（2）當(dāng)x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，直接帶入f（1），同時(shí)考慮f（x）=x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故可求出a．b值；
（2）當(dāng)x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立，即可轉(zhuǎn)化為：（x+1）f（x）＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1；

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x}{ax+b}$，且f（1）=$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{a+b}=\frac{1}{2}$，即a+b=2；
又$\frac{x}{ax+b}=x$ 只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；
∴x$（\frac{1-ax-b}{ax+b}）=0$ 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解為0；
∴b=1，a=1；
∴f（x）=$\frac{x}{x+1}$．
（2）∵x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]；
∴x+1＞0；
∴（x+1）f（x）＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1；
當(dāng)m+1＞0時(shí)，即m＞-1時(shí)，有m-1＜x恒成立?m＜x+1?m＜（x+1）_min
∴-1＜m≤$\frac{5}{4}$；
當(dāng)m+1＜0，即m＜-1時(shí)，同理可得m＞（x+1）_max=$\frac{3}{2}$；
∴此時(shí)m不存在．
綜上：m∈（-1，$\frac{5}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)恒成立與分類討論知識(shí)點(diǎn)，屬中等題．