Question

14．已知拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)位于x軸上方），若△AOF的面積為3$\sqrt{3}$，則p=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 寫(xiě)出直線(xiàn)AB的方程，聯(lián)立方程組解出A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)面積列方程解出p．

解答 解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），∴直線(xiàn)AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，消元得：3x²-5px+$\frac{3{p}^{2}}{4}$=0，
解得x₁=$\frac{p}{6}$，x₂=$\frac{3p}{2}$．
∵A點(diǎn)在x軸上方，∴A（$\frac{3p}{2}$，$\sqrt{3}p$）．
∴S_△AOF=$\frac{1}{2}•\frac{p}{2}•\sqrt{3}p$=3$\sqrt{3}$，解得p=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的關(guān)系，屬于中檔題．