如圖(1),△BCD內(nèi)接于直角梯形A1A2A3D,已知沿△BCD三邊將△A1BD、△A2BC、△A3CD翻折上去,恰好形成一個三棱錐ABCD，如圖（2）所示.

(1)求證:在三棱錐ABCD中，AB⊥CD；
(2)若直角梯形的上底A1D=10，高A1A2=8，求翻折后三棱錐的側(cè)面ACD與底面BCD所成二面角θ的余弦值.
 
(1)證明:在直角梯形A1A2A3D中,
A1D⊥A1B,A2C⊥A2B,
翻折成三棱錐后仍有AB⊥AD,AB⊥AC,
∴AB⊥平面ACD.
又平面ACD,∴AB⊥CD.
(2)解:由題設(shè)可知,B、C必是A1A2、A2A3的中點,A1D=A3D.
∴A1D=A3D=10,A1B=A2B=4.

過D作DE⊥A2A3,垂足為E,得DE=8.
在Rt△DEA3中,得EA3=6,
∴A2A3=16.
于是A2C=CA3=8，CE=2.
不難得到S△BCD=36,S△CDA=32.
∵AB⊥平面ACD,
由面積射影定理得.
故側(cè)面ACD與底面BCD所成二面角θ的余弦值為.
空間直線和平面
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