Question

下面玩擲骰子放球的游戲：若擲出1點(diǎn)，甲盒中放入一球；若擲出2點(diǎn)或是3點(diǎn)，乙盒中放入一球；若擲出4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn)，丙盒中放入一球!設(shè)擲n次后，甲、乙、丙盒內(nèi)的球數(shù)分別為x，y，z
（1）當(dāng)n=3時，求x、y、z成等差數(shù)列的概率；（2）當(dāng)n=6時，求x、y、z成等比數(shù)列的概率；
（3）設(shè)擲4次后，甲盒和乙盒中球的個數(shù)差的絕對值為ξ，求Eξ．
分析：顯然題目描述的是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，但不是我們熟悉的兩個而是三個，因此需要運(yùn)用類比方法求解．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)x+y+z=3，且2y=x+z，求出x、y、z的值有三種情形，然后分別求出三種情形時所對應(yīng)的概率，最后根據(jù)互斥事件的概率公式解之即可；
（2）根據(jù)n=6，且x、y、z成等比數(shù)列時，則x+y+z=6，且y²=x•z求出x、y、z的值，然后根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式解之即可；
（3）ξ的可能值為0，1，2，3，4，分別根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求出相應(yīng)的概率，最后利用數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解．
解答：解：（1）因x+y+z=3，且2y=x+z，所以，或，或
當(dāng)x=0，y=1，z=2時，只投擲3次出現(xiàn)1次2點(diǎn)或3點(diǎn)、2次4點(diǎn)或5次6點(diǎn)，即此時的概率為．
當(dāng)x=1，y=1，z=1時，只投擲3次出現(xiàn)1次1點(diǎn)、1次2點(diǎn)或是3點(diǎn)、1次4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn)，即此時的概率為．
當(dāng)x=2，y=1，z=0時，只投擲3次出現(xiàn)2次1點(diǎn)、1次2點(diǎn)或3點(diǎn)，即此時的概率為．
故當(dāng)n=3時，x，y，z成等差數(shù)列的概率為；
（2）當(dāng)n=6，且x、y、z成等比數(shù)列時，由x+y+z=6，且y²=x•z得：x=y=z=2．此時概率為；
（3）ξ的可能值為0，1，2，3，4．
；；．
點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及離散型隨機(jī)變量的期望和n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，同時考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．