Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+2，x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求：
（1）實(shí)數(shù)a的值；
（2）f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由x=-2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，得f′（2）=0，解出可得；
（2）由（1）可求f（x），f'（x），令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2．當(dāng)x變化時(shí)f′（x），f（x）的變化情況列成表格，由極值、端點(diǎn)處函數(shù)值可得函數(shù)的最值；

解答： 解：（1）∵f（x）在x=2處有極值，∴f′（2）=0．
∵f′（x）=3x²+2ax，∴3×4+4a=0，∴a=-3．
經(jīng)檢驗(yàn)a=-3時(shí)x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
故a=-3；
（2）由（1）知a=-3，∴f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x．
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2．當(dāng)x變化時(shí)f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	?↑	2	?↓	-2	↑?	2

從上表可知f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值是2，最小值是-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，屬中檔題，正確理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．