Question

定義域為R的函數f(x)滿足：對于任意的實數x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，且當x＞0時f(x)＜0恒成立．

(1)判斷函數f(x)的奇偶性，并證明你的結論；

(2)證明f(x)為減函數；若函數f(x)在[－3，3)上總有f(x)≤6成立，試確定f(1)應滿足的條件；

(3)解關于x的不等式f(ax²)－f(x)＞f(a²x)－f(a)，(n是一個給定的自然數，a＜0．)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知對于任意x∈R，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)恒成立 　　令x＝y(tǒng)＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0 　　令x＝－y，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0 　　∴對于任意x，都有f(－x)＝－f(x)．　　∴f(x)是奇函數． 　　(2)設任意x1，x2∈R且x1＜x2，則x2－x1＞0，由已知f(x2－x1)＜0　�、� 　　又f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(－x1)　　② 　　由①，②得f(x1)＞f(x2)，根據函數單調性的定義知f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數． 　　∴f(x)在[－3，3]上的最大值為f(－3)．要使f(x)≤6恒成立，當且僅當f(－3)≤6， 　　又∵f(－3)＝－f(3)＝－f(2＋1)＝－[f(2)＋f(1)]＝－[f(1)＋f(1)＋f(1)]＝－3f(1)，　　∴f(1)≥－2． 　　(3)f(ax2)－f(x)＞f(ax2)－f(a) 　　f(ax2)－f(a2x)＞n[f(x)－f(a)] 　　f(ax2－a2x)＞nf(x－a) 　　由已知得：f[n(x－a)]＝nf(x－a)　　∴f(ax2－a2x)＞f[n(x－a)] 　　∵f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數　　∴ax2－a2x＜n(x－a)． 　　即(x－a)(ax－n)＜0，　　∵a＜0，　　∴(x－a)(x－)＞0， 　　討論： 　�、佼攁＜＜0，即a＜－時，原不等式解集為{x|x＞或x＜a}； 　�、诋攁＝＜0即a＝－時，原不等式的解集為 　　③當＜a＜0時，即－＜a＜0時， 　　原不等式的解集為{x|x＞a或x＜}