Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+a|x-1|+1（a∈R），其中a≥0，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 去掉絕對(duì)值，寫成分段函數(shù)的形式，結(jié)合圖象分類求值域．

解答 解：f（x）=f（x）=x²+a|x-1|+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a+1…x≥1}\\{{x}^{2}-ax+a+1…x＜1}\end{array}\right.$
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²+1，f（x）min=1…（3分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，結(jié)合圖象
（ i）當(dāng)$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2時(shí)，f（x）min=分（1）=2；…（6分）
（ ii）當(dāng)$\frac{a}{2}＜1$，即0＜a＜2時(shí)，f（x）min=f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}+a+1$；…（9分）
綜上：f（x）min=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}^{2}}{4}+a+1…a＜2}\\{2…a≥2}\end{array}\right.$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用分類討論處理分段函數(shù)的值域問題，屬于中檔題．