【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求a的值,并證明是R上的增函數(shù);
(2)若關(guān)于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0的解集非空,求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1),證明見解析(2)
【解析】
(1)由奇函數(shù)在0處有定義時計算可得.證明在上為增函數(shù)時,設(shè),再計算,化簡證明即可.
(2)先根據(jù)奇偶性化簡為,因為函數(shù)單調(diào)遞增,所以若解集非空,則有解.再根據(jù)二次不等式恒成立的問題求解即可.
(1)因為定義在R上的奇函數(shù),所以,得.
此時,,
,所以是奇函數(shù),
所以.
任取R,且,則,因為
所以,
所以是R上的增函數(shù).
(2)因為為奇函數(shù),f(t2-2t)+f(2t2-k)<0的解集非空,
所以的解集非空,
又在R上單調(diào)遞增,
所以的解集非空,
即在R上有解,所以得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),定義(,且為常數(shù)),若,,.以下四個命題中為真命題的是__________.
①不存在極值;②若的反函數(shù)為,且函數(shù)與函數(shù)有兩個公共點(diǎn),則;③若在上是減函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是;④若,則在的曲線上存在兩點(diǎn),使得過這兩點(diǎn)的切線互相垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定:機(jī)動車行經(jīng)人行橫道時,應(yīng)當(dāng)減速慢行;遇行人正在通過人行橫道,應(yīng)當(dāng)停車讓行,俗稱“禮讓斑馬線”,《中華人民共和國道路交通安全法》 第90條規(guī)定:對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分,罰款50元的處罰.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù):
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
違章駕駛員人數(shù) | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程;
(2)交警從這5個月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查了50人,調(diào)查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關(guān)系,得到如下列聯(lián)表:能否據(jù)此判斷有的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)?
不禮讓斑馬線 | 禮讓斑馬線 | 合計 | |
駕齡不超過1年 | 22 | 8 | 30 |
駕齡1年以上 | 8 | 12 | 20 |
合計 | 30 | 20 | 50 |
參考公式及數(shù)據(jù):
.
(其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,直線與相切于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,與直線相交于(,,,均不重合).證明:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們知道一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像都是連續(xù)不斷的曲線,事實上,多項式函數(shù)的圖像都是如此.
(1)設(shè),且,若還有,求證:;
(2)設(shè)一個多項式函數(shù)有奇次項(),求證:總能通過只調(diào)整的系數(shù),使得調(diào)整后的多項式一定有零點(diǎn);
(3)現(xiàn)有未知數(shù)為的多項式方程(其中實數(shù)待定),甲、乙兩人進(jìn)行一個游戲:由甲開始交替確定中的一個數(shù)(每次只能去確定剩余還未定的數(shù)),當(dāng)甲確定最后一個數(shù)后,若方程由實數(shù)解,則乙勝,反之甲勝,問:乙有必勝的策略嗎?若有,請給出策略并證明,若無,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市每年春節(jié)前后,由于大量的煙花炮竹的燃放,空氣污染較為嚴(yán)重.該市環(huán)保研究所對近年春節(jié)前后每天的空氣污染情況調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn),每天空氣污染的指數(shù)隨時刻(時)變化的規(guī)律滿足表達(dá)式,,其中為空氣治理調(diào)節(jié)參數(shù),且.
(1)令,求的取值范圍;
(2)若規(guī)定每天中的最大值作為當(dāng)天的空氣污染指數(shù),要使該市每天的空氣污染指數(shù)不超過5,試求調(diào)節(jié)參數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”,分初賽和復(fù)賽兩個階段進(jìn)行,規(guī)定:初賽成績大于90分的具有復(fù)賽資格.某校有800 名學(xué)生參加了初賽,所有學(xué)生的成績均在區(qū)間內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求初賽分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率;
(Ⅱ)求獲得復(fù)賽資格的人數(shù);
(Ⅲ)據(jù)此直方圖估算學(xué)生初賽成績的平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率等于,它的一個短軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)已知、是橢圓上的兩點(diǎn),是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點(diǎn).
①若直線的斜率為,求四邊形面積的最大值;
②當(dāng)運(yùn)動時,滿足,試問直線的斜率是否為定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)若曲線在處的切線方程為,求實數(shù)的值;
(2)設(shè),若對任意兩個不等的正數(shù),都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若在上存在一點(diǎn),使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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