Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3n-n²，n∈N^*．
（1）當(dāng)n取什么值時(shí)S_n最大，最大值是多少？
（2）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1可得a_n，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其定義即可證明．

解答： （1）解：Sn=-n2+3n，
對(duì)稱軸為n=-

3

2×(-1)

=

3

2

，
∵n∈N^*，∴n=1或2時(shí)，S_n最大．
最大值為S₁=S₂=2．
（2）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3n-n2-3(n-1)+(n-1)2=-2n+4，
∵n=1時(shí)，-2×1+4=2=a₁，
∴a_n=-2n+4．
又∵a_n+1-a_n=-2（n≥1）．
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、遞推式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．