Question

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．

（Ⅰ）證明AB⊥平面VAD；

（Ⅱ）求面VAD與面VDB所成二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為平面VAD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，

又AB在平面ABCD內(nèi)，AD⊥AB，所以AB⊥平面VAD．                                    …3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥AB，AB⊥AV．

依題意設(shè)AB=AD=AV=1，所以BV=BD=．                                             …6分

設(shè)VD的中點為E,連結(jié)AE、BE，則AE⊥VD，BE⊥VD，

所以∠AEB是面VDA與面VDB所成二面角的平面角．                                     …9分

又AE=，BE=，所以

故，面VAD與面VDB所成二面角的大小為．                            …12分

（方法二）

（Ⅰ）同方法一．                                                                  …3分

（Ⅱ）設(shè)AD的中點為O，連結(jié)VO，則VO⊥底面ABCD．               

又設(shè)正方形邊長為1，建立空間直角坐標系如圖所示．                                  …4分

則，A（，0，0），    B（，1，0），

D（-，0，0），   V（0，0，）；

．                                  …7分

由（Ⅰ）知是平面VAD的法向量．設(shè)是平面VDB的法向量，則

                …10分

∴ 

由圖知，面VAD與面VDB所成的二面角為銳角，

故，面VAD與面VDB所成二面角的大小為．                                  …12分

考點：本小題主要考查空間中線面垂直的證明以及二面角的求法，考查學(xué)生的空間想象能力及推理論證能力和計算能力.

點評：本小題的難點在于第二問求二面角，用向量法求解二面角時，要正確判斷法向量的方向，同指向二面角內(nèi)或外則向量夾角與二面角互補，一個指向內(nèi)另一個指向外則相等.