Question

10．定義在R上的函數(shù)對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（1）=2，解不等式f（3x+4）＞4．

Answer 1

分析 （1）判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱，取特殊值：令x=y=0，可得f（0）=0令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0；
（2）用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性：在R上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，判斷f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x）=f（x₂）-f（x₁）＞0．
（3）根據(jù)f（1）=2，則4=f（2），將不等式等價轉(zhuǎn)化為f（3x+4）＞f（2），再利用函數(shù)的單調(diào)性即可解得不等式的解集．

解答 解：（1）（x）定義在R上，定義域關(guān)于原點對稱  
令x=y=0，可得f（0）=0
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0
即f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）R上任取x₁，x₂且x₁＜x₂
∵x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R上為增函數(shù)．
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，
∴4=2+2=f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2），
∴不等式f（3x+4）＞4等價轉(zhuǎn)化為f（3x+4）＞f（2），
根據(jù)（1）中證明可知，f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴3x+4＞2，解得，x＞$\frac{2}{3}$，
∴不等式f（3x+4）＞4的解集為{x|x＞-$\frac{2}{3}$}

點評 本題主要考察了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，利用單調(diào)性解不等式問題，屬于中檔題．