Question

【題目】已知函數(shù)， .

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)已知，若函數(shù)恒成立，試確定的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由函數(shù)的解析式有，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論：

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可知， ，滿足題意時需，即，結(jié)合題意構(gòu)造函數(shù)在，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍是.

試題解析：

(1)由，得： ， ，

當時， 在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，令，則，得， ，

∵，∴，

∴令得，令得，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴，

即需，即，

又由得，代入上面的不等式得，

由函數(shù)在上單調(diào)遞增， ，

所以，∴，∴，

所以的取值范圍是.