已知a，b為實(shí)數(shù)，且a+b＞0，試證明
a
b2
+
b
a2
≥
1
a
+
1
b
．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：證明題
分析：利用分析法，要證明原不等式成立，只需證明變形后的不等式a3+b3≥ab2+a2b成立；進(jìn)一步分析，只需證明（a-b）2≥0即可，該式顯然成立，問(wèn)題得證．
解答： 證明：依題意知，ab≠0，
要證明：
a
b2
+
b
a2
≥
1
a
+
1
b
，
只需證明：
a3+b3
a2b2
≥
ab2+a2b
a2b2
，
即證明：a3+b3≥ab2+a2b；
∵a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2），ab2+a2b=ab（a+b），a+b＞0，
∴只需證明：a2-ab+b2≥ab，
即證：（a-b）2≥0，該式顯然成立，
故原不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，著重考查分析法的應(yīng)用，考查推理論證的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

根據(jù)如圖算法語(yǔ)句，輸出s的值為（　�。�
A、19B、20
C、100D、210

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC的三角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且三邊a，b，c成等差數(shù)列，b=4，C=2A．
（1）求cosA；
（2）求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-ax，g（x）=lnx
（1）若f（x）≥g（x）對(duì)于定義域內(nèi)的x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)r(x)=f(x)+g(
1+ax
2
)若對(duì)任意的a∈（1，2），總存在x0∈[ 
1
2
 ， 1 ]，使不等式r(x0)＞k(1-a2)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（Ⅲ）若對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-ax2-x；
（1）若f（x）在(-
1
3
，1)上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)a=
1
2
時(shí)，求證：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)≥x-
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知實(shí)數(shù)a，b∈[0，2]，則函數(shù)f（x）=x2+ax+b在實(shí)數(shù)集R上有兩個(gè)零點(diǎn)的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在圓中有如下結(jié)論：“如圖1，AB是圓O的直徑，直線AC，BD是圓O過(guò)A、B的切線，P是圓O上任意一點(diǎn)，CD是過(guò)P的切線，則有PC•PD=PO2”．類比到橢圓：“如圖2，AB是橢圓的長(zhǎng)軸（其中O為橢圓的中心，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)），直線AC，BD是橢圓過(guò)A、B的切線，P是橢圓上任意一點(diǎn)，CD是過(guò)P的切線，則有PC•PD=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=2ax+1-3（a＞0，且a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案