Question

（2012•濟寧一模）已知定義域為R的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)，又是周期為3的周期函數(shù)，當x∈（0，

3

2

）時，f（x）=sinπx，f（

3

2

）=0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點個數(shù)是（　�。�

A．9

B．7

C．5

D．3

Answer 1

分析：由題意知當x∈(0，

3

2

)時f（x）=sinπx，求出f（x）=0的根，再由條件和奇函數(shù)的性質(zhì)，求出一個周期[-

3

2

，

3

2

]內(nèi)函數(shù)零點的個數(shù)，根據(jù)f（x）是定義域為R的周期為3函數(shù)，根據(jù)周期性進行求出在區(qū)間[0，6]上的零點即可．

解答：解：由題意得當x∈(0，

3

2

)時，f（x）=sinπx，
令f（x）=0，則sinπx=0，解得x=1．
又∵函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且f(

3

2

)=0，
∴在區(qū)間[-

3

2

，

3

2

]上有f（-1）=f（1）=f（-

3

2

）=f（

3

2

）=0，且f（0）=0，
∵函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，
則方程f（x）=0在區(qū)間[0，6]上的解有0，1，

3

2

，2，3，4，

9

2

，5，6，共9個．
故選A．

點評：本題考查了函數(shù)的周期性和奇偶性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵結(jié)論“若奇函數(shù)經(jīng)過原點，則必有f（0）=0”應(yīng)用，這個關(guān)系式大大簡化了解題過程，要注意在解題中使用．如果本題所給區(qū)間為開區(qū)間，則答案為7個，若區(qū)間為半開半閉區(qū)間，則答案為8個，故要注意對端點的分析．