Question

已知點P（x，y）是橢圓

x2

2

+y²=1上的點，M（m，0）（m＞0）是定點，若|MP|的最小值等于

5

3

，則m=

2

3

或

2

+

5

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程，結(jié)合兩點間的距離公式，得|MP|²=F（x）=

1

2

x²-2mx+1+m²，因為拋物線y=F（x）關(guān)于直線直線x=2m對稱，且P點橫坐標x∈[-

2

，

2

]，所以分2m＞

2

和2m≤

2

兩種情況，分別對F（x）的最小值為

5

9

進行討論，解之即可得到實數(shù)m的值，從而得到本題答案．

解答：解：∵點P（x，y）是橢圓

x2

2

+y²=1上的點，
∴y²=1-

x2

2

，由此可得|MP|²=（x-m）²+y²=（x-m）²+（1-

x2

2

），
化簡可得，得|MP|²=F（x）=

1

2

x²-2mx+1+m²，
函數(shù)y=F（x）的圖象是一條拋物線，關(guān)于直線x=2m對稱
∵P點橫坐標x∈[-

2

，

2

]
∴對F（x）的最小值分兩種情況加以討論
①當2m＞

2

時，即m＞

2

2

時，F(xiàn)（x）在[-

2

，

2

]上為減函數(shù)，
∴[F（x）]_最小值=F（

2

）=m2-2

2

m+2=（

5

3

）²，解之得m=

2

+

5

3

（負值舍去）
②當2m≤

2

時，即0＜m≤

2

2

時，F(xiàn)（x）在[-

2

，2m]上為減函數(shù)，在[2m，

2

]上為增函數(shù)，
∴[F（x）]_最小值=F（2m）=1-m²=（

5

3

）²，解之得m=

2

3

（負值舍去）．
綜上所述，m的值為

2

3

或

2

+

5

3

故答案為：

2

3

或

2

+

5

3

點評：本題給出橢圓上一個動點，在已知它到定點（m，0）的最小距離情況下求實數(shù)m之值，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)和二次函數(shù)在給定區(qū)間上求最值等知識，屬于中檔題．