Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

．
（1）求定義域；
（2）證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）要使函數(shù)式有意義則要求分母不為0，可求定義域；（2）利用定義法證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

解答： 解：（1）要使函數(shù)f（x）=x+

1

x

有意義，則x≠0，即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}．
（2）證明：任取且x₂＞x₁，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）=x₁-x₂+（

1

x1

-

1

x2

）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
∵x₁，x₂∈[1，+∞）且x₂＞x₁，
∴x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)定義域以及單調(diào)性證明，利用定義法證明，注意步驟．