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已知關于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a為何值時，

(1)方程有一正一負兩根；

(2)方程的兩根都大于1；

(3)方程的一根大于1，一根小于1

 

【答案】

(1) 0＜a＜1

(2) 不存在實數a，使方程的兩根都大于1

(3) a＞0

【解析】解：(1)因為方程有一正一負兩根，

所以由根與系數的關系得，

解得0＜a＜1.即當0＜a＜1時，方程有一正一負兩根．

(2)法一：當方程兩根都大于1時，函數y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致圖象如圖(1)(2)所示，

所以必須滿足，或，不等式組無解．

所以不存在實數a，使方程的兩根都大于1

法二：設方程的兩根分別為x1，x2，由方程的兩根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0，

即

⇒.

所以⇒ ，不等式組無解．

即不論a為何值，方程的兩根不可能都大于1.

(3)因為方程有一根大于1，一根小于1，函數y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致圖象如圖(3)(4)所示，

所以必須滿足或，解得a＞0.

∴即當a＞0時，方程的一個根大于1，一個根小于1.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=kx，（k≠0）且滿足f（x+1）•f（x）=x2+x，函數g（x）=ax，（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數f（x）為R上的增函數，h(x)=
f(x)+1
f(x)-1
(f(x)≠1)，問是否存在實數m使得h（x）的定義域和值域都為[m，m+1]？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）已知關于x的方程g（2x+1）=f（x+1）•f（x）恰有一實數解為x0，且x0∈(
1
4
，
1
2
)求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•宿遷一模）【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知AB，CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的 垂直平分線，若AB=6，CD=2
5
，求線段AC的長度．
B．選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
已知矩陣M=
21
1a
的一個特征值是3，求直線x-2y-3=0在M作用下的新直線方程．
C．選修4-4：坐標系與參數方程（本小題滿分10分）
在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程是
x=cosα
y=sinα+1
（α是參數），若以O為極點，x軸的正半軸為極軸，取與直角坐標系中相同的單位長度，建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．
D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
已知關于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集為R，求正實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知關于x的方程x2+ax+b=0的兩根均在區(qū)間（-1，1）內，則
a+b-2
a+1
的取值范圍是
(-∞，
1
3
) ∪(3，+∞)
(-∞，
1
3
) ∪(3，+∞)
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•瀘州二模）已知函數f（x）=ax2+bx+c和函數g（x）=ln（1+x2）+ax（a＜0）．
（Ⅰ）求函數g（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）已知關于x的方程f（x）=x沒有實數根，求證方程f（f（x））=x也沒有實數根；
（Ⅲ）證明：(1+
1
22
)(1+
1
42
)(1+
1
82
)…(1+
1
22n
)＜e(n∈N*)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•徐匯區(qū)二模）已知關于x的方程x2-ax+ab=0，其中a，b為實數，且a≠0．
（1）若x=1-
3
i (i為虛數單位）是該方程的一個根，求a，b的值；
（2）當該方程沒有實數根時，證明：
b
a
＞
1
4
．

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