Question

將編號(hào)為1、2、3的三個(gè)小球放入編號(hào)為甲、乙、丙的三個(gè)盒子中，每盒放入一個(gè)小球，已知1號(hào)小球放入甲盒，2號(hào)小球放入乙盒，3號(hào)小球放入丙盒的概率分別為

3

5

，

1

2

，p，記1號(hào)小球放入甲盒為事件A，2號(hào)小球放入乙盒為事件B，3號(hào)小球放入丙盒為事件C，事件A、B、C相互獨(dú)立．
（Ⅰ）若p=

1

2

，求事件A、B、C中至少有兩件發(fā)生的概率；
（Ⅱ）若事件A、B、C中恰有兩件發(fā)生的概率不低于

2

5

，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)三個(gè)事件相互獨(dú)立，可以得到三個(gè)事件至少有兩件發(fā)生包括四種情況，即有兩件發(fā)生和三件發(fā)生，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式和互斥事件的概率公式得到結(jié)果．
（II）利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式寫出事件恰有兩件發(fā)生的概率，得到關(guān)于p的不等式，解出不等式得到結(jié)果，注意概率本身的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵事件A、B、C相互獨(dú)立
∴事件A、B、C中至少有兩件發(fā)生的概率為P(A)P(B)P(

.

C

)+P(A)P(

.

B

)P(C)+P(

.

A

)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
=

3

5

×

1

2

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

1

2

+

2

5

×

1

2

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

1

2

=

11

20

…（6分）
（Ⅱ）依題意有P(A)P(B)P(

.

C

)+P(A)P(

.

B

)P(C)+P(

.

A

)P(B)P(C)≥

2

5

…（9分）
即

3

5

×

1

2

×(1-p)+

3

5

×

1

2

×p+

2

5

×

1

2

×p≥

2

5

∴

2p

10

≥

1

10

解得p≥

1

2

…（11分）
∵p≤1
所以p的取值范圍是[

1

2

，1]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式和互斥事件的概率公式以及概率的性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)事件的關(guān)系，不要忽略掉概率本身的性質(zhì)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．