已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上.若橢圓上的點到焦點、的距離之和等于4.
(1)寫出橢圓的方程和焦點坐標;
(2)過點的直線與橢圓交于兩點、,當的面積取得最大值時,求直線的方程.
(1)橢圓C的方程為,焦點坐標為,
(2)MN方程為x=1.
解析試題分析:(1)橢圓C的方程為,焦點坐標為,
(2)MN斜率不為0,設(shè)MN方程為.
聯(lián)立橢圓方程:可得
記M、N縱坐標分別為、,
則
設(shè)
則,該式在單調(diào)遞減,所以在,即時取最大值.
考點:本題考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系
點評:橢圓的概念和性質(zhì),仍將是今后命題的熱點,定值、最值、范圍問題將有所加強;利用直線、弦長、圓錐曲線三者的關(guān)系組成的各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題,其中求解與相交弦有關(guān)的綜合題仍是今后命題的重點
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知兩點及,點在以、為焦點的橢圓上,且、、 構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,動直線與橢圓有且僅有一個公共點,點是直線上的兩點,且,. 求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的對稱軸為坐標軸,焦點是(0,),(0,),又點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線的斜率為,若直線與橢圓交于、兩點,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知在平面直角坐標系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為,右頂點為,設(shè)點.
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)若是橢圓上的動點,求線段中點的軌跡方程;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓.
(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距,且成等差數(shù)列,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)(1)中的橢圓與直線相交于兩點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的右焦點為,直線與軸交于點,若(其中為坐標原點).
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)是橢圓上的任意一點,為圓的任意一條直徑(、為直徑的兩個端點),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓過點,離心率為,左、右焦點分別為、.點為直線上且不在軸上的任意一點,直線和與橢圓的交點分別為、和、,為坐標原點.設(shè)直線、的斜率分別為、.
(i)證明:;
(ii)問直線上是否存在點,使得直線、、、的斜率、、、滿足?若存在,求出所有滿足條件的點的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
橢圓與軸負半軸交于點,為橢圓第一象限上的點,直線交橢圓于另一點,橢圓左焦點為,連接交于點D。
(1)如果,求橢圓的離心率;
(2)在(1)的條件下,若直線的傾斜角為且△ABC的面積為,求橢圓的標準方程。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓(a>b>0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓短半軸長半徑的圓與直線y=x+ 相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓在軸上方的一個交點為,是橢圓的右焦點,試探究以為
直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系.
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