Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）
（1）當(dāng)x=1時(shí)有最大值1，若x∈[m，n]，（0＜m＜n）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/132865.png' />，證明：
（2）若b=4，c=-2時(shí)，對(duì)于給定正實(shí)數(shù)a有一個(gè)最小負(fù)數(shù)g（a），使得x∈[g（a），0]時(shí)，|f（x）|≤4恒成立，問a為何值時(shí)，g（a）最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

解：（1）由條件得：a＜0，≤1，即m≥1，
∴[m，n]?[1，+∞）∴f（m）=，
∴
（2）f（x）=a（x+，顯然f（0）=-2，
對(duì)稱軸x=-＜-4
，即0＜a＜2時(shí)，g（a）∈（-），且f（g（a））=-4
令ax²+4x-2=-4，解得x=
∵0＜a＜2∴g（a）＞-12，當(dāng)-2-≥-4，即a≥2，g（a）＜-，且f（g（a））=4令ax²+4x-2=4，
解得x=，取g（a）=
∵a≥2，∴g（a）≥-3，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào)．
綜上，當(dāng)a=2時(shí)，g（a）最小值為-3
分析：（1）由x=1時(shí)有最大值1，及函數(shù)的值域，可知m≥1，從而[m，n]?[1，+∞）因此f（m）=，故可得證．
（2）f（x）=ax²+4x-2，顯然f（0）=-2，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，g（a）∈（-），且f（g（a））=-4
令ax²+4x-2=-4，解得x=，從而有g(shù)（a）＞-12．
同理當(dāng)a≥2時(shí)，g（a）≥-3，故可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題的（1）問利用函數(shù)的值域及最大值，避免了討論，（2）應(yīng)注意合理的分類，要使g（a）最小，即那個(gè)使|f（x）|=4的x最小，越遠(yuǎn)離原點(diǎn)的負(fù)值．