Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a在區(qū)間[0，1]的最大值為2，則a的值為

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：這是一個動函數(shù)、定區(qū)間的二次函數(shù)的最值問題，由于二次項系數(shù)為-1，所以函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a的圖象的開口方向是向下的，對稱軸為x=a，因此需要按對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論．

解答： 解：函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a的對稱軸為x=a，圖象開口向下，
①當a≤0時，函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a在區(qū)間[0，1]是減函數(shù)，
∴f_max（x）=f（0）=1-a，由1-a=2，得a=-1，
②當0＜a≤1時，函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a在區(qū)間[0，a]是增函數(shù)，在[a，1]上是減函數(shù)，
∴fmax(x)=f(a)=-a2+2a2+1-a=a²-a+1，
由a²-a+1=2，解得a=

1+ 5

2

或a=

1- 5

2

，
∵0＜a≤1，∴兩個值都不滿足；
 ③當a＞1時，函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a在區(qū)間[0，1]是增函數(shù)，
∴fmax（x）=f（1）=-1+2a+1-a=a，
∴a=2
 綜上可知，a=-1或a=2．
 故答案為：a=-1或a=2．

點評：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學思想．