Question

下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（　　）

• A、y=e^x
• B、y=sinx
• C、y=-x³
• D、y=log

  1

  2

  x

Answer 1

分析：A：因?yàn)閒（-x）=e^-x≠-f（x），所以函數(shù)f（x）=e^x不是奇函數(shù)．B：函數(shù)f（x）=sinx的減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]．
C：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），又f′（x）=-3x²≤0，所以函數(shù)在定義域內(nèi)即是減函數(shù)又是奇函數(shù)．
D：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱所以D錯(cuò)誤．

解答：解：A：因?yàn)閒（x）=e^x，所以f（-x）=e^-x≠-f（x），所以函數(shù)f（x）=e^x不是奇函數(shù)，所以A錯(cuò)誤．
B：由題意可得：函數(shù)f（x）=sinx的減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，所以其在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，所以B錯(cuò)誤．
C：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），所以函數(shù)f（x）=-x³是奇函數(shù)．
又因?yàn)閒′（x）=-3x²≤0，所以函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)．所以C正確．
D：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，所以D錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握判斷函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的方法，以及掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)、減函數(shù)、增函數(shù)的有關(guān)定義．