Question

【題目】已知，，其中常數(shù)．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的范圍；

（3）設(shè)，在區(qū)間內(nèi)是否存在區(qū)間，使函數(shù)在區(qū)間的值域也是？請給出結(jié)論，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）極小值0，沒有極大值；（2）；（3）不存在區(qū)間符合要求，理由見解析.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出極值；

（2）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，得到有兩個零點的條件，求出的范圍；

（3）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷在單調(diào)遞增，將在區(qū)間的值域也是，轉(zhuǎn)化為有兩個大于的不等實根解決問題.

函數(shù)的定義域為，

（1）當(dāng)時，，，

而在上單調(diào)遞增，又，

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，所以有極小值，沒有極大值．

（2）令， ，因為，所以

		0
	增		減

因為有兩個零點，所以，所以

當(dāng)時因為，，所以有兩個零點.

(3)，假設(shè)在區(qū)間內(nèi)是存在區(qū)間，使函數(shù)在區(qū)間的值域也是，因為，當(dāng)時

所以在上是增函數(shù)，所以，即

即方程有兩個大于的不等實根.上述方程等價于

設(shè)，所以

所以在上是增函數(shù)，所以上至多一個實數(shù)根.

即上不可能有兩個不等實數(shù)根，所以假設(shè)不成立，所以不存在區(qū)間符合要求.