【題目】閱讀與探究

人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)4(必修)》在第一章的小結(jié)中寫到:

將角放在直角坐標(biāo)系中討論不但使角的表示有了統(tǒng)一的方法,而且使我們能夠借助直角坐標(biāo)系中的單位圓,建立角的變化與單位圓上點(diǎn)的變化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而用單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)來表示圓心角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).因此,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)與圓的幾何性質(zhì)(主要是對(duì)稱性)之間存在著非常緊密的聯(lián)系.例如,和單位圓相關(guān)的“勾股定理”與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系有內(nèi)在的一致性;單位圓周長為與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期為是一致的;圓的各種對(duì)稱性與三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式等也是一致的等等.因此,三角函數(shù)的研究過程能夠很好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.

依據(jù)上述材料,利用正切線可以討論研究得出正切函數(shù)的性質(zhì).

比如:由圖1.2-7可知,角的終邊落在四個(gè)象限時(shí)均存在正切線;角的終邊落在軸上時(shí),其正切線縮為一個(gè)點(diǎn),值為;角的終邊落在軸上時(shí),其正切線不存在;所以正切函數(shù)的定義域是.

(1)請(qǐng)利用單位圓中的正切線研究得出正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性;

(2)根據(jù)閱讀材料中途1.2-7,若角為銳角,求證: .

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】試題分析:(1)在單位圓中畫出角的正切線,觀察隨增大正切線的值得變化情況,再觀察時(shí),正切線的值隨增大時(shí)的變化情況,發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)是銳角時(shí),有,由此得到.

解析:(1)當(dāng)時(shí), 增大時(shí)正切線的值越來越大;當(dāng)時(shí),正切線與區(qū)間上的情況完全一樣;隨著角的終邊不停旋轉(zhuǎn),正切線不停重復(fù)出現(xiàn),故可得出正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;由題意知正切函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在坐標(biāo)系中畫出角,它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱,在單位圓中作出它們的正切線,可以發(fā)現(xiàn)它們的正切線長度相等,方向相反,即,得出正切函數(shù)為奇函數(shù).

(2)如圖,當(dāng)為銳角時(shí),在單位圓中作出它的正弦線,正切線,又因?yàn)?/span>,所以,又 ,而,故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90;
④若函數(shù)f(x)= ,則y=[f(x)]+[f(﹣x)]的值域?yàn)閧﹣1,0}.
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(Ⅱ)設(shè)F(1,0),曲線C1與曲線C2相交于不同的兩點(diǎn)A,B,求|AF|+|BF|的值.

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(1)若a=2,M為直線l與x軸的交點(diǎn),N是圓C上一動(dòng)點(diǎn),求|MN|的最大值;
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